Como hacer poligonos regulares con compas
Cómo construir un polígono regular utilizando el método general
Los polígonos regulares son figuras planas cerradas formadas por aristas de igual longitud y vértices de igual tamaño. El polígono regular más sencillo es el triángulo equilátero, que consta de tres aristas de igual longitud y tres ángulos entre cada par de aristas de 60 grados. Tres aristas es el menor número de aristas para construir un polígono porque dos aristas forman un ángulo y una arista es un segmento. Los polígonos son figuras cerradas. El polígono regular de cuatro aristas es el cuadrado. Cinco aristas forman el pentágono, y seis, el hexágono.
1 (y parte del 2). En clase comentamos que estos triángulos equiláteros funcionaban porque las dos circunferencias que se construyen, o marcas de dos circunferencias, veremos que los segmentos del triángulo son radios de las circunferencias. Si los círculos son del mismo tamaño, entonces los radios del mismo tamaño y su posición es tal que se encuentran en tres puntos (centros de los círculos y su intersección). Aquí tienes un diagrama que puede ayudarte:
Como los círculos se han unido y ahora comparten un radio, que forma la base, podemos ver que como todos los radios son iguales, si se superponen para formar la base y los otros dos se unen en la parte superior, debemos tener un triángulo equilátero.
Cómo construir un gráfico poligonal
- Seleccione la herramienta COMPÁS (Ventana 8). Luego haz click en el punto C y en el punto B (Representa la abertura longitudinal del compás) y de nuevo en el punto C (Representa el extremo agudo del compás). A continuación, haga clic en el punto B y en el punto C (representa la abertura longitudinal del compás) y de nuevo en B (representa el extremo agudo del compás).
- Seleccione la herramienta BRÚJULA (Ventana 8). Luego haga clic en el punto F y en el punto A (Representa la abertura longitudinal del compás) y de nuevo en el punto F (Representa el extremo agudo del compás). A continuación, haga clic en el punto A y en el punto F (representa la abertura longitudinal del compás) y de nuevo en A (representa el extremo agudo del compás).
mismo tamaño. Construir un hexágono regular de lado AB- Selecciona la herramienta COMPÁS (Ventana 8). Luego haga clic sobre el segmento de línea AB (Representa la abertura de longitud del compás) y sobre A (Representa el extremo agudo del compás). Luego haga clic sobre el segmento AB (abertura del compás) y sobre B (extremo seco del compás).
- Seleccione la herramienta BRÚJULA (Ventana 8). A continuación, haga clic en el punto D y en el punto A (representa la abertura longitudinal del compás) y de nuevo en el punto D (representa el extremo agudo del compás). A continuación, haga clic en el punto E y en el punto B (representa la abertura longitudinal del compás) y de nuevo en E (representa el extremo agudo del compás).
Construcción de polígonos regulares
Algunos polígonos regulares con \(n\) lados son clásicamente "construibles" utilizando sólo un compás y una regla, mientras que otros han sido probados por Gauss como "no construibles", al menos exactamente. Desarrollamos un procedimiento general práctico para la construcción aproximada de polígonos regulares que funciona bien para \(n\) grandes y que puede adaptarse para \(n\) pequeños.
Se utilizó el programa informático de geometría "Geometer's Sketchpad" para desarrollar una construcción aproximada de un heptágono regular (a modo de comparación, otros procedimientos para hacer esto han sido descritos por Dixon: Mathographics. Nueva York: Dover, 1991, reimpreso en http://mathworld.wolfram.com/Heptagon.html).
A continuación, el algoritmo se amplió para la construcción de un nonágono (comparándose favorablemente con las construcciones tradicionales, como muestra Dixon: http://mathworld.wolfram.com/Nonagon.html). Con ayuda, el algoritmo se generalizó para construir polígonos para cualquier \(n\). Denominamos a este algoritmo, y a sus mejoras, la técnica de la "fracción de radio".
Hoja de trabajo "Construir polígonos
Gran parte de la geometría aritmética tiene que ver con la construcción o demostración de la no constructibilidad de determinadas figuras sólo con regla y compás. Véase, por ejemplo, la no constructibilidad del heptágono regular y la constructibilidad del heptadecágono regular por Gauss.
Me pregunto qué significa que exista un dispositivo sencillo que se pueda construir con la ayuda de una regla y un compás que junto con regla y compás permita construir polígonos regulares arbitrarios muy fácilmente.
Supongo que es salirse del plano lo que "descalifica" este tipo de construcción. ¿Podría tener esto que ver con el hecho de abandonar la recta de los números reales y entrar en el plano complejo al resolver ecuaciones polinómicas? ("¡De repente se pueden resolver todas las ecuaciones polinómicas!") Por otro lado: ¡La brújula también es un dispositivo genuinamente tridimensional!
[Nota contrahistórica: si los geómetras no se hubieran limitado (¿deliberadamente?) a la regla y el compás, no habría habido necesidad de estudiar la construcción de los $n$gonos regulares, y mucha aritmética no se habría descubierto (o se habría descubierto mucho más tarde). Por otro lado: ¿No se habrían descubierto antes los números complejos, cuando se hubiera considerado más seriamente el dispositivo cónico]?
