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Poligonos regulares estrellados

Poligonos regulares estrellados

Gran dodecaedro estrellado

Los triángulos equiláteros tienen ángulos de 60°, por lo que caben tres, cuatro o cinco en un vértice; pero no seis, ya que entonces no quedaría espacio. Los cuadrados tienen ángulos de 90° y los pentágonos de 108°, por lo que sólo caben tres en un vértice. Tres hexágonos, con ángulos de 120°, llenan completamente un vértice; los polígonos superiores tienen ángulos aún mayores, por lo que intentar utilizarlos es inútil.

Basta con tomar un montón de polígonos e intentar conectarlos para confirmar que todos estos casos son posibles. Corresponden respectivamente al tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro.

Numeremos los lados de un pentágono regular como 12345 en secuencia. El lado 3 ya se encuentra con los lados 2 y 4. Si extendemos todos los lados simétricamente, entonces el lado 3 se extiende hasta encontrarse con los lados extendidos 1 y 5, dando un pentagrama regular.

Los polígonos superiores pueden tener múltiples estelaciones. Si aplicamos esto a un heptágono, tenemos dos estelaciones. Numerando los lados 1234567 en secuencia, el lado 4 ya se encuentra con los lados 3 y 5. Si lo extendemos más, se formará un pentagrama regular. Si lo extendemos aún más, se encontrará con los lados extendidos 2 y 6; y si lo extendemos aún más, se encontrará con los lados extendidos 1 y 7. Aquí se detiene el proceso, porque no hay nada más que encontrar. Las etapas sucesivas se pueden ver a continuación.

¿Qué es una forma estrellada?

estrellado (comparativo más estrellado, superlativo más estrellado) en forma de estrella; estrellado. (geometría) De un poliedro, que tiene sus aristas o planos extendidos para formar una nueva forma.

¿Cuántos politopos regulares hay?

En cinco y más dimensiones, existen exactamente tres politopos regulares, que corresponden al tetraedro, al cubo y al octaedro: son los símplices regulares, los politopos de medida y los politopos en cruz.

¿Cuántas caras tiene un icosaedro estrellado?

Tiene 16 caras (4 triángulos equiláteros y 12 caras en forma de cometa), 30 aristas y 16 vértices.

Polígono estrella

Los politopos regulares se agrupan por dimensiones y se subagrupan por formas convexas, no convexas e infinitas. Las formas no convexas utilizan los mismos vértices que las formas convexas, pero tienen facetas que se intersecan. Las formas infinitas teselan un espacio euclidiano de una dimensión inferior.

Las formas infinitas pueden extenderse para teselar un espacio hiperbólico. El espacio hiperbólico es como el espacio normal a pequeña escala, pero las líneas paralelas divergen a distancia. Esto permite que las figuras de vértice tengan defectos angulares negativos, como hacer un vértice con siete triángulos equiláteros y permitir que quede plano. No puede hacerse en un plano regular, pero sí a la escala adecuada de un plano hiperbólico.

Nótese que a los tilings euclidianos e hiperbólicos se les da una dimensión más de lo que cabría esperar. Esto se debe a una analogía con los politopos finitos: un n-politopo regular convexo puede verse como una teselación del espacio esférico (n-1)-dimensional. Así, los tres teselados regulares del plano euclídeo (por triángulos, cuadrados y hexágonos) figuran en la dimensión tres en lugar de dos.

Poliedro

Un polígono es un politopo bidimensional. Los polígonos pueden caracterizarse según varios criterios. Algunos ejemplos son: abierto (excluyendo su frontera), circuito delimitador solamente (ignorando su interior), cerrado (incluyendo tanto su frontera como su interior), y auto-intersección con densidades variables de diferentes regiones.

En geometría elemental, un politopo es un objeto geométrico con lados planos (caras). Los politopos son la generalización de los poliedros tridimensionales a cualquier número de dimensiones. Los politopos pueden existir en cualquier número general de dimensiones n como un politopo n-dimensional o n-politopo. Por ejemplo, un polígono bidimensional es un 2-politopo y un poliedro tridimensional es un 3-politopo. En este contexto, "lados planos" significa que los lados de un (k + 1)-politopo están formados por k-politopos que pueden tener (k - 1)-politopos en común.

Algunas teorías generalizan aún más la idea para incluir objetos como apeiropos y teselaciones sin límites, descomposiciones o tilings de variedades curvas, incluidos los poliedros esféricos, y politopos abstractos teóricos de conjuntos.

Icosaedro

Por estelación se entiende la extensión de las caras de un poliedro hasta que se intersecan con las extensiones de otras caras, de forma que se conserva la simetría del poliedro original. El conjunto de todas las aristas posibles de las formas esteladas puede obtenerse encontrando todas las intersecciones del plano de una cara con los planos de todas las demás caras. Para el tetraedro y el cubo no es posible ninguna estelación. La única estelación del octaedro es la stella octangula, un compuesto de dos tetraedros duales. Los dos tetraedros están relacionados entre sí por inversión y pueden dibujarse fácilmente.

Un poliedro regular tiene caras que son polígonos regulares congruentes (triángulos, cuadrados y pentágonos son los únicos que se dan). Todos los vértices presentan la misma disposición de caras a su alrededor. El único polígono no convexo que puede aparecer como cara de un poliedro regular (no convexo) es el pentagrama (estrella de cinco puntas).

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