Poligono regular inscrito

Fórmula del polígono regular inscrito en un círculo

Hasta ahora, sin considerar los casos degenerados tenemos $n\ge 3$ y he conseguido excluir triángulos y pentágonos y encontrar rombos para (1) y rectángulos para (2), sin embargo no soy capaz de encontrar un procedimiento general a seguir.

Se me permite usar todos los hechos geométricos elementales (como simetrías, proporciones, congruencia y demás) e incluso un poco de álgebra y geometría cartesiana, sin embargo preferiría una solución sin coordenadas.

EDIT: La definición de un polígono regular es un polígono tanto equilátero como equiangular, por lo que un polígono no regular es un polígono que es al menos equilátero o equiangular y no ambos. Un polígono circunscribible/inscribible es un polígono que puede ser circunscrito/inscrito por un círculo.

Calculadora de polígonos inscritos en un círculo

Este artículo no cita ninguna fuente. Por favor, ayuda a mejorar este artículo añadiendo citas de fuentes fiables. El material sin fuentes puede ser cuestionado y eliminado.Find sources:  "Figura inscrita" - noticias - periódicos - libros - erudito - JSTOR (agosto de 2012) (Aprende cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla).

En geometría, una forma plana o sólido inscrito es aquel que está encerrado y "encaja perfectamente" dentro de otra forma geométrica o sólido. Decir que "la figura F está inscrita en la figura G" significa exactamente lo mismo que "la figura G está circunscrita a la figura F". Un círculo o elipse inscrito en un polígono convexo (o una esfera o elipsoide inscrito en un poliedro convexo) es tangente a cada lado o cara de la figura exterior (pero véase Esfera inscrita para las variantes semánticas). Un polígono inscrito en un círculo, elipse o polígono (o un poliedro inscrito en una esfera, elipsoide o poliedro) tiene cada vértice en la figura exterior; si la figura exterior es un polígono o poliedro, debe haber un vértice del polígono o poliedro inscrito en cada lado de la figura exterior. Una figura inscrita no es necesariamente única en su orientación; esto se puede ver fácilmente, por ejemplo, cuando la figura exterior dada es un círculo, en cuyo caso una rotación de una figura inscrita da otra figura inscrita que es congruente con la original.

Perímetro de un polígono regular inscrito en un círculo

Este primer argumento es un ejemplo del MP7, Buscar y hacer uso de la estructura. La clave de este argumento es identificar que todos los círculos son semejantes y luego aplicar el significado de semejanza a la circunferencia. El segundo argumento ejemplifica el MP8, Buscar y expresar regularidad en el razonamiento repetido. Aquí la clave está en comparar el círculo con una forma más familiar, el triángulo. Un método particularmente eficaz es dividir un polígono regular que se aproxime a la circunferencia en triángulos congruentes, con lo que la fórmula del perímetro y su relación con $r$ resultan particularmente claras.

En esta solución aproximamos la circunferencia de un círculo utilizando polígonos y luego utilizamos la semejanza de triángulos para explicar la fórmula de la circunferencia de un círculo. A continuación se muestra un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio $r$:

Fórmula del polígono inscrito en un círculo

Considera esta imagen. He tomado la suya y la he modificado un poco añadiendo algunas construcciones que serán útiles para demostrar esta afirmación. Ten en cuenta que esta imagen sólo debe usarse como referencia, porque la demostración tiene que ser válida para cualquier polígono regular de n lados inscrito en el círculo.

Esta es la fórmula expresada con el radio, pero es bastante larga. Se puede utilizar el hecho de que la altura de cada triángulo es el radio del círculo inscrito en el polígono regular, por lo que la fórmula se convierte en