Construcción de un polígono regular
Construcción de polígonos en dibujo técnico pdf
En matemáticas, un polígono construible es un polígono regular que se puede construir con compás y regla. Por ejemplo, un pentágono regular es construible con compás y regla, mientras que un heptágono regular no lo es. Hay infinitos polígonos construibles, pero sólo se conocen 31 con un número impar de lados.
Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con compás y regla, otros no. Los antiguos matemáticos griegos sabían construir un polígono regular de 3, 4 ó 5 lados,[1]: p. xi y sabían construir un polígono regular con el doble de lados que un polígono regular dado,[1]: pp. 49-50 Esto llevó a plantearse la siguiente pregunta: ¿es posible construir todos los polígonos regulares con compás y regla? En caso negativo, ¿qué n-gonos (es decir, polígonos con n aristas) son construibles y cuáles no?
Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del 17-gon regular en 1796. Cinco años más tarde, desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae. Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de los polígonos regulares. Gauss afirmó sin pruebas que esta condición era también necesaria,[2] pero nunca publicó su prueba. En 1837, Pierre Wantzel aportó una prueba completa de la necesidad. El resultado se conoce como teorema de Gauss-Wantzel:
¿Cómo se construye un polígono regular?
Los polígonos son figuras planas cerradas cuyas aristas son líneas rectas. Los polígonos son regulares si todos sus lados y ángulos son iguales. Esto significa que todas las esquinas, o vértices, de un polígono regular se encuentran en un círculo. Por tanto, el método más sencillo para construir un polígono regular es inscribirlo en un círculo.
¿Cuál es la fórmula para construir polígonos?
Fórmula poligonal
Suma de los ángulos interiores de un polígono de "n" lados =180°(n-2) Número de diagonales de un polígono de "n lados" = [n(n-3)]/2.
¿Cuáles son las 2 herramientas básicas en la construcción de polígonos regulares?
Utiliza un compás y una regla para construir triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Aquí aprenderás a construir triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos. También explorarás la construcción de otros polígonos regulares.
Construcción de polígonos pdf
El ejemplo más básico de polígono regular es el triángulo equilátero, un triángulo con tres lados y tres ángulos congruentes. Los cuadrados también son polígonos regulares, porque todos sus ángulos son iguales (\(90^{\circ}\)) y todos sus lados tienen la misma longitud. Los polígonos regulares de cinco o más lados no tienen nombres especiales. En su lugar, se utiliza la palabra regular para describirlos. Por ejemplo, un hexágono regular es un hexágono (polígono de 6 lados) cuyos ángulos tienen todos la misma medida y los lados tienen todos la misma longitud.
Todos los polígonos regulares tienen simetría de rotación. Esto significa que una rotación de menos de \(360^{\circ}\) llevará el polígono regular sobre sí mismo. De hecho, un polígono regular de n lados tiene simetría de rotación para cualquier múltiplo de \(\dfrac{360^{circ}}{n}\).
Puedes construir algunos polígonos regulares a mano si recuerdas las definiciones y propiedades de estos polígonos regulares. Con la ayuda adicional de un software de geometría o un transportador, puedes construir cualquier polígono regular.
Polígonos construibles
Los polígonos regulares son figuras planas cerradas formadas por aristas de igual longitud y vértices de igual tamaño. El polígono regular más sencillo es el triángulo equilátero, que consta de tres aristas de igual longitud y tres ángulos entre cada par de aristas de 60 grados. Tres aristas es el menor número de aristas para construir un polígono porque dos aristas forman un ángulo y una arista es un segmento. Los polígonos son figuras cerradas. El polígono regular de cuatro aristas es el cuadrado. Cinco aristas forman el pentágono, y seis, el hexágono.
1 (y parte del 2). En clase comentamos que estos triángulos equiláteros funcionaban porque las dos circunferencias que se construyen, o marcas de dos circunferencias, veremos que los segmentos del triángulo son radios de las circunferencias. Si los círculos son del mismo tamaño, entonces los radios del mismo tamaño y su posición es tal que se encuentran en tres puntos (centros de los círculos y su intersección). Aquí tienes un diagrama que puede ayudarte:
Como los círculos se han unido y ahora comparten un radio, que forma la base, podemos ver que como todos los radios son iguales, si se superponen para formar la base y los otros dos se unen en la parte superior, debemos tener un triángulo equilátero.
¿Pueden ser cóncavos los polígonos regulares?
La introducción de los polígonos regulares y sus construcciones siempre han tenido que ver con los hexágonos regulares y los octógonos regulares. Las construcciones introductorias de los hexágonos regulares se realizan utilizando círculos divididos en seis sectores iguales utilizando el radio del círculo, mientras que en el caso de los octógonos se utiliza la sectorización de círculos en ocho sectores iguales. Después se profundiza en la construcción de las distintas clases de polígonos regulares utilizando el ángulo base o el ángulo exterior u otro intrincado método propio de la familia de polígonos en cuestión. En este trabajo se presentan nuevos métodos de construcción de cada familia de polígonos regulares, desde el 3-gon al 9-gon (polígonos de tres lados a nueve lados), que son adecuados para las clases introductorias. Los métodos enumerados para cada familia de polígonos regulares son tan sencillos que despiertan el interés por la construcción de polígonos por otros métodos. Los métodos presentados aquí para su uso en clases introductorias aunque sencillos también pasan como métodos estándar para la construcción de la familia particular de polígono regular.
